The akụkụ nke ụgbọelu: esi mee ka? Ụdị ụgbọelu arụmarụ

The ụgbọelu ohere nwere ike kọwaa na ụzọ dị iche iche (otu ntụpọ na vector, na vector na abụọ ihe, ihe atọ, wdg). Ọ bụ na nke a n'uche, ụgbọelu akụkụ nwere ike dị iche iche. Ọzọkwa n'okpuru ụfọdụ ọnọdụ ụgbọelu nwere ike ịbụ ukem, perpendicular, intersecting, wdg On a na ga-ekwu n'isiokwu a. Anyị ga-amụta ime ka izugbe akụkụ nke ụgbọelu na bụghị naanị.

The nkịtị ụdị akụkụ

E were R bụ ohere _3, nke nwere akụkụ anọ ahazi usoro XYZ. Anyị kọwaa a vector α, nke a ga-atọhapụ si amalite O. Site ọgwụgwụ nke vector α ise ụgbọelu P nke bụ perpendicular ya.

Ịpụta P na-ezighị ezi mgbe Q = (x, y, z). Na okirikiri vector nke ebe Q ịrịba ama n'akwụkwọ ozi p. Na ogologo nke vector nhata α p = IαI na Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Nke a unit vector, nke na-eduzi na ntụziaka dị ka vector α. α, β na γ - bụ akụkụ na-guzobere n'agbata vector na nti ntụziaka Ʋ ohere anyu x, y, z karị. The ntule nke a mgbe na vector QεP Ʋ bụ a mgbe nile nke bụ hà p (p, Ʋ) = p (r≥0).

The n'elu akụkụ bụ ihe bara uru mgbe p = 0. The naanị n ụgbọelu na nke a, na-agafe ebe O (α = 0), nke si malite, na unit vector Ʋ, tọhapụrụ site n'ókè O ga-perpendicular na P, ọ bụ ezie na ya direction, nke pụtara na vector Ʋ kpebisiri ruo ihe ịrịba ama. Previous akụkụ bụ anyị ụgbọelu P, kwupụtara na vector ụdị. Ma anya nke ya na-achịkọta bụ:

P ukwuu ma ọ bụ hà 0. Anyị chọpụtara na ụgbọelu akụkụ na nkịtị ụdị.

The n'ozuzu akụkụ

Ọ bụrụ na ndị akụkụ na-achịkọta ba uba site ọ bụla ọnụ ọgụgụ na-adịghị hà efu, anyị na-enweta akụkụ Ẹkot a na-akọwa nnọọ ụgbọelu. Ọ ga-enwe ndị na-esonụ ụdị:

Ebe a, A, B, C - bụ ọnụ ọgụgụ nke ndị n'out oge dị iche iche site na efu. Nke a akụkụ a na-akpọ akụkụ nke n'ozuzu ụdị nke ụgbọelu.

The arụmarụ nke ụgbọ elu. pụrụ iche ikpe

The akụkụ nwere ike n'ozuzu gbanwetụrụ ọzọ ọnọdụ. Tụlee ụfọdụ n'ime ha.

Iche na ọnụọgụ A bụ 0. a na-egosi na ụgbọelu yiri ka gaghị agara axis ehi. Na nke a, na ụdị nke akụkụ-agbanwe: Wu + Cz + D = 0.

N'otu aka ahụ, ọdịdị nke akụkụ na ịdị iche iche na ndị na-esonụ ọnọdụ:

• Firstly, ma ọ bụrụ na B = 0, na akụkụ mgbanwe anyụike + Cz + D = 0, nke ga-egosi ihe-myiri na axis Oy.
• Nke abuo, ma ọ bụrụ na C = 0, na akụkụ na-ghọọ anyụike + Site + D = 0, nke ahụ bụ na-ekwu banyere ihe yiri ka na-gaghị agara axis Oz.
• Nke atọ, ọ bụrụ na D = 0, na akụkụ ga-apụta dị ka anyu-ike + Site + Cz = 0, nke ga-apụta na ụgbọelu intersects O (si malite).
• Nke anọ, ma ọ bụrụ na A = B = 0, na akụkụ mgbanwe Cz + D = 0, nke ga-myiri Oxy.
• Nke ise, ma ọ bụrụ na B = C = 0, na akụkụ-aghọ anyụike + D = 0, nke pụtara na ụgbọelu bụ ihe yiri ka Oyz.
• Sixthly, ma ọ bụrụ na A = C = 0, na akụkụ na-ewe n'ụdị Wu + D = 0, i.e., ga-akọ na ihe-myiri Oxz.

Ụdị nke akụkụ na agba

N'ihe ebe nọmba A, B, C, D iche efu, ọdịdị nke akụkụ (0) nwere ike ịbụ dị ka ndị a:

x / a + y / b + z / c = 1,

ebe a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Anyị na-enweta dị ka a n'ihi akụkụ nke ụgbọelu na iberibe. Ọ ga-kwuru na nke a ụgbọelu ga irutu na x-axis na isi na-achịkọta (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), na Oz - (0,0, s).

Nyere akụkụ x / a + y / b + z / c = 1, ọ bụghị ike na-anya nke uche pụrụ isi chọta ụgbọelu ikwu a gaghị agara ahazi usoro.

The na-achịkọta ndị nkịtị vector

The nkịtị vector n ụgbọelu na P nwere na-achịkọta ndị na-na ọnụọgụ nke izugbe akụkụ nke ụgbọelu, i.e. n (A, B, C).

Iji chọpụta na-achịkọta ndị nkịtị n, ọ bụ zuru ezu mara izugbe akụkụ nyere ụgbọelu.

Mgbe iji akụkụ na agba, nke nwere ụdị x / a + y / b + z / c = 1, dị ka mgbe iji izugbe akụkụ nwere ike e dere na-achịkọta ndị ọ bụla nkịtị vector a nyere ụgbọelu: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Ọ ga-kwuru na ndị nkịtị vector aka gboo mkpa dị iche iche nsogbu. The kasị nsogbu na-esịnede na àmà perpendicular ma ọ bụ ihe yiri ụgbọ elu, ọrụ nke ịchọta akụkụ n'etiti ụgbọ elu ma ọ bụ na akụkụ n'etiti ụgbọ elu na ogologo e.

Pịnye dị ka ụgbọelu akụkụ na-achịkọta ndị ebe nkịtị vector

A nonzero vector n, perpendicular ka a nyere ụgbọelu, a na-akpọ nkịtị (nkịtị) na a gaghị agara ụgbọelu.

E were ya na na-ahazi ohere (a akụkụ anọ ahazi usoro) Oxyz ịtọ:

• Mₒ ebe na-achịkọta (hₒ, uₒ, zₒ);
• efu vector n = A * m + B * j + C * k.

Ị mkpa ka akụkụ nke ụgbọelu na-agabiga Mₒ ebe perpendicular na nkịtị n.

Na ohere anyị na-ahọrọ ọ bụla aka ike ebe na ịpụta M (x, y, z). Ka okirikiri vector nke ọ bụla mgbe M (x, y, z) ga-r = x * m + y * j + z * k, na okirikiri vector nke a mgbe Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * m + uₒ * j + zₒ * k. The mgbe M ga-abụ nke a nyere ụgbọelu, ọ bụrụ na ndị vector MₒM enwe perpendicular na vector n. Anyị dee ọnọdụ orthogonality iji scalar ngwaahịa a:

[MₒM, n] = 0.

Ebe ọ bụ na MₒM = r-rₒ, na vector akụkụ nke ụgbọelu ga-ele anya dị ka nke a:

[R - rₒ, n] = 0.

Nke a akụkụ nwekwara ike nwere ọzọ udi. N'ihi nke a, Njirimara nke scalar ngwaahịa, na tọghatara na n'aka ekpe nke akụkụ. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ọ bụrụ na [rₒ, n] denoted ka s, anyị na-enweta na-esonụ akụkụ: [r, n] - a = 0 ma ọ bụ [r, n] = s, nke na-ekwupụta na mgbe niile nke projections na nkịtị vector nke okirikiri-Vektọ nke nyere ihe na iso ụgbọelu.

Ugbu a, ị nwere ike nweta ihe ahazi ụdị ndekọ ụgbọelu anyị vector akụkụ [r - rₒ, n] = 0. Ebe r-rₒ = (x-hₒ) * m + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, na n = A * m + B * j + C * k, anyị nwere:

Ọ na-enyo na anyị na-enwe akụkụ a kpụrụ ụgbọelu-agafe ebe perpendicular na nkịtị n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Pịnye dị ka ụgbọelu akụkụ na-achịkọta ndị abụọ ihe nke vector ụgbọelu collinear

Anyị kọwaa abụọ aka ike ihe M '(x', y ', z') na M "(x", y ", z"), nakwa dị ka vector (a ', a ", a ‴).

Ugbu a, anyị nwere ike ide akụkụ gaghị agara ụgbọelu nke na-aga site na ẹdude mgbe M 'na M ", na onye ọ bụla mgbe na-achịkọta M (x, y, z) yiri a nyere vector.

N'ihi ya M'M Vektọ x = {x ', y-y'; zz '} na M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} kwesịrị coplanar na vector a = (a ', a ", a ‴), nke pụtara na (M'M M" M, a) = 0.

Ya mere anyị akụkụ nke a ụgbọelu na ohere ga-ele anya dị ka nke a:

Ụdị ụgbọelu akụkụ, agafe atọ ihe

Ka anyị kwuo na anyị nwere ihe atọ a: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Nwere ‴, z ‴), nke na-abụghị nke n'otu. Ọ dị mkpa na-ede akụkụ nke ụgbọelu-agafe ihe atọ kpọmkwem. jiometrị Ozizi rụrụ ụka na ụdị ụgbọelu anaghị adị, ọ bụ naanị otu onye na naanị. Ebe ọ bụ na nke a ụgbọelu intersects n'ókè (x ', y', z '), ya akụkụ ụdị ga-abụ:

Ebe a, A, B, na C dị iche efu n'otu oge. Ọzọkwa nyere ụgbọelu intersects abụọ ọzọ ihe (x ", y", z ") na (x ‴, y ‴, z ‴). A na njikọ ga-rụrụ ụdị ọnọdụ:

Ugbu a, anyị nwere ike ịmepụta a edo usoro nke arụmarụ (linear) na unknowns u, v, w:

Na anyị ikpe x, y ma ọ bụ z guzo aka ike mgbe nke na-emeju akụkụ (1). Ịtụle akụkụ (1) na a usoro nke arụmarụ (2) na (3) usoro arụmarụ gosiri na ọnụ ọgụgụ n'elu, na vector afọ N (A, B, C) nke bụ nontrivial. Ọ bụ n'ihi na ekpebi nke usoro bụ efu.

Akụkụ (1) na anyị nwere, nke a bụ akụkụ nke ụgbọelu. 3 ebe ọ n'ezie na-aga, na ọ dị mfe elele. Iji mee nke a, anyị na-mụbaa ekpebi site ọcha na nke mbụ n'usoro. Nke ẹdude Njirimara ekpebi oputara na anyị ụgbọelu n'out oge intersects atọ mbụ gaghị agara mgbe (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Ya mere, anyị kpebiri Task n'ihu anyị.

Dihedral n'akuku n'etiti ụgbọ elu

Dihedral n'akuku bụ a gbasara ohere geometric udi kpụrụ abụọ na ọkara ụgbọ elu na-esite n'aka a ogologo akara. Ndị ọzọ okwu, nke ohere nke a na-ejedebeghị na ọkara ụgbọ elu.

Ka e were ya na anyị nwere abụọ ụgbọelu na-esonụ arụmarụ:

Anyị maara na vector N = (A, B, C) na N¹ = (A¹, H¹, S¹) dika gaghị agara ụgbọ elu na-perpendicular. Na nke a, na n'akuku φ n'etiti Vektọ N na N¹ hà n'akuku (dihedral), bụ nke dị n'etiti ndị a ụgbọ elu. The scalar ngwaahịa e nyere site na:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

kpomkwem n'ihi na

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ọ bụ iji na-atụle na 0≤φ≤π.

N'ezie abụọ ụgbọ elu na irutu, ụdị abụọ n'akuku (dihedral): φ ₁ na φ _2. Ha nchikota bụ hà π (φ ₁ + φ ₂ = π). Ma ha cosines, ha kpam kpam ụkpụrụ na-hà, ma ha bụ dị iche iche ihe ịrịba ama, ya bụ, cos φ ₁ = -cos φ _2. Ọ bụrụ na akụkụ (0) na-anọchi A, B na C nke -Ọ, -B na -c karị, ndị akụkụ, anyị na-enweta, ga-ekpebi otu ụgbọelu, nanị n'akuku φ na akụkụ cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ọ ga-anọchi π-φ.

The akụkụ nke perpendicular ụgbọelu

A na-akpọ perpendicular ụgbọelu, n'etiti nke n'akuku 90 degrees. Iji ihe ọkọnọ n'elu, anyị nwere ike ịchọta akụkụ nke a ụgbọelu perpendicular nke ọzọ. E were anyị nwere abụọ ụgbọ elu: anyụike + Site + Cz + D = 0, na + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Anyị nwere ike sị na ha bụ ndị orthogonal ma ọ bụrụ na cos = 0. Nke a pụtara na NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

The akụkụ nke a yiri ụgbọelu

Ọ kwuru na abụọ yiri ụgbọ elu nke nwere dịghị ihe jikọrọ.

The ọnọdụ ukem ụgbọ elu (ha arụmarụ bụ otu dị ka na aga na paragraf) bụ na Vektọ N na N¹, nke na-perpendicular ha, collinear. Nke a pụtara na ndị na-esonụ ọnọdụ na-zutere proportionality:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ọ bụrụ na ndị proportional okwu na-gbasaa - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

a na-egosi na data ụgbọelu nke otu. Nke a pụtara na akụkụ anyụike + Site + Cz + D = 0 na + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 akọwa otu ụgbọelu.

The anya si ebe ụgbọelu

Ka e were ya na anyị nwere a ụgbọelu P, nke e nyere site na (0). Ọ dị mkpa iji chọta anya si ebe na-achịkọta (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Ị mkpa iji mee ka ndị akụkụ na ụgbọelu II nkịtị anya na-eme ka ọ:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Na nke a, ρ (x, y, z) bụ okirikiri vector anyị ebe Q, emi odude n p - n bụ ogologo nke perpendicular, nke e wepụtara na efu ebe, v - bụ unit vector, nke bụ ndokwa na ntụziaka a.

Ihe dị iche ρ-ρº okirikiri vector nke a mgbe Q = (x, y, z), nke n na okirikiri vector nke a nyere ebe Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) bụ ihe dị otú a vector, kpam kpam uru nke ntule nke nke on v nhata anya d, nke dị mkpa iji chọta si Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) na P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ma

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

N'ihi ya, ọ na-enyo,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Ugbu a, ọ bụ doo anya na gbakọọ anya d si ₀ ka Q ụgbọelu P, ọ dị mkpa iji nkịtị na-ele ụgbọelu akụkụ, nnofega na-ekpe nke p, na ndị ikpeazụ ebe x, y, z dochie (hₒ, uₒ, zₒ).

N'ihi ya, anyị na-ahụ zuru uru nke dapụtara okwu a chọrọ d.

Iji kwa nke asụsụ, anyị na-ahụ anya:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ọ bụrụ na ahụ kwuru kpọmkwem ebe Q ₀ bụ na n'akụkụ nke ọzọ nke ụgbọelu P ka si malite, mgbe ahụ n'etiti vector ρ-ρ ⁰ na v bụ ihe obtuse n'akuku, otú a:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Na ikpe mgbe n'ókè Q ₀ na njikọ na mbido emi odude ke otu n'akụkụ nke U, nnukwu n'akuku-kere, ya bụ:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

N'ihi na n'ebe bụbu ikpe (ρ ^0, v)> p, nke abụọ (ρ ^0, v)

Na ya tangent ụgbọelu akụkụ

Banyere ụgbọelu na elu na n'ókè nke tangency Mº - a ụgbọelu nwere niile kwere omume tangent ka usoro mmasị site na mgbe n'elu.

Na nke a na n'elu ụdị nke akụkụ F (x, y, z) = 0 na akụkụ nke tangent ụgbọelu tangent ebe Mº (hº, uº, zº) ga-abụ:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Ọ bụrụ na n'elu nke e setịpụrụ n'ụzọ doro anya z = f (x, y), mgbe ahụ tangent ụgbọelu a kọwara nke akụkụ:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

The nrutu nke abụọ ụgbọ elu

Na atọ akụkụ ohere bụ a ahazi usoro (akụkụ anọ) Oxyz, nyere abụọ ụgbọ elu P 'na P' na yitewere na ọ gaghị adaba. Ebe ọ bụla ụgbọelu, nke bụ na a akụkụ anọ ahazi usoro kọwara izugbe akụkụ, anyị na-ewere ya na n 'na n "na-kọwaa site arụmarụ A'x + V'u S'z + + D' = 0 na A" + B x '+ y na "z + D" = 0. Na nke a, anyị nwere nkịtị n '(A', B ', C') nke ụgbọelu P 'na nkịtị n "(A", B ", C") nke ụgbọelu P'. Dị ka anyị ụgbọelu na-adịghị ẹbiet na adịghị idako, mgbe ahụ, ndị a Vektọ na-adịghị collinear. Site n'iji asusu nke mgbakọ na mwepụ, na anyị nwere ọnọdụ a nwere ike e dere dị ka: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Ma", λ * In ", λ * C"), λεR. Ka ogologo akara nke dabeere na nrutu P 'na P ", ga-denoted site n'akwụkwọ ozi a, na nke a a = P' ∩ P".

na - a akara esịnede a plurality nke ihe (nkịtị) ụgbọ elu P 'na P ". Nke a pụtara na-achịkọta ndị ọ bụla mgbe nke na akara a, ga-n'out oge igbo akụkụ A'x + V'u S'z + + D '= 0 na A "x + B' + C y" z + D "= 0. Nke a pụtara na-achịkọta ndị mgbe ga-adị a akpan akpan ngwọta nke ndị na-esonụ arụmarụ:

N'ihi bụ na ihe ngwọta (n'ozuzu) nke usoro arụmarụ ga-ekpebi na-achịkọta ndị na onye ọ bụla nke ihe na akara nke ga-eme ka isi ihe nrutu P 'na P ", ma na-ekpebi a akara na a ahazi usoro Oxyz (akụkụ anọ) ohere.